Pero lo importante para el debate que mantenemos aquí no es el método de medición de las magnitudes que intervienen en la ecuación de la densidad (densidad, masa, volumen) sino si esa ecuación es un enunciado de origen empírico (fruto de la experiencia sensible) que da origen a posteriores desarrollos utilizando la inducción o bien es una hipótesis teórica fruto de una intuición y necesitada de posterior verificación empírica. Perrin cree lo primero, me parece, como expone en su Prefacio. ¿Estamos de acuerdo en eso?

Esta clasificación de Perrin entre métodos científicos intuitivos e inductivos es bastante ingenua, la filosofía de la ciencia ha dado muchas vueltas desde los tiempos de Perrin, hoy día parece dudoso que existan procesos inductivos sin mediación de hipótesis, y la separación entre observaciones y teorías se ha vuelto borrosa. En cualquier caso, no le veo relación a estas especulaciones epistemológicas de Perrin con los párrafos posteriores de su prefacio en los que habla de la discontinuidad de la densidad, que es la parte interpretada por Lyotard, interpretación que es criticada por Sokal y Bricmont, crítica que es el objeto inicial de esta discusión.

No sé si he contestado a lo que preguntas, pero tampoco te entiendo muy bien. Si te refieres a la ecuación d=m/v , no es un enunciado empírico ni teórico, sino que es una definición. Si te refieres a una medición concreta de la densidad del aire, intervienen tanto elementos empíricos (registros de barómetros y termómetros) como teóricos (ley de los gases ideales).

Desde luego, el libro de Perrin es de 1913, así que yo también tuve mis dudas sobre la vigencia de sus afirmaciones. No obstante, al reproducir Mandelbrot parte de ese Prefacio en su obra de 1975 ("Los fractales") y volver a reproducirlo en su obra de 1982 ("La Geometría fractal de la Naturaleza"), di por supuesto que, al menos en esas fechas y en las que Lyotard escribió "La condition postmoderne" (1979), era todavía válida la exposición de Perrin. Difícilmente Mandelbrot habría reproducido esos textos de Perrin si ya no tuvieran vigencia, y supongo que eso no se le habría escapado a un matemático como Mandelbrot. Sokal y Bricmont tampoco oponen ningún reparo a lo afirmado por Perrin. Así que, tenga o no validez eso en 2024, lo cierto es que eso no nos interesa mucho, porque estamos analizando si la crítica de Sokal y Bricmont es fundada; y a ese respecto el estado de la ciencia en 2024 no me parece relevante.

Que la ecuación "d=m/v" sea una definición, como dices tú, no quita para que pueda tener, y de hecho tenga, un origen empírico. Por ejemplo, tomemos la definición de "ratón": "Mamífero roedor de pequeño tamaño, de hocico puntiagudo y cola larga, de pelaje corto" (RAE). Es obvio que esa definición es totalmente empírica: procede de la observación abundante y sistemática de ciertos animales, a los que llamamos ratones. Y comparémosla con la definición de "seno" (en sentido geométrico): "Cociente entre el cateto opuesto a un ángulo de un triángulo rectángulo y la hipotenusa"; esta es una definición teórica, no empírica.

De todas formas, lo que me interesa señalar ahora, cara a la argumentación que pretendo desarrollar, es que de esa "definición" (o lo que sea) de densidad, podemos concluir la siguiente relación funcional (entiéndase función en estricto sentido matemático, como la relación entre dos variables, sin que eso implique causalidad física o metafísica alguna): m=dv. Donde volumen y masa son dos variables relacionadas funcionalmente entre sí. Como es obvio, se trata de una función lineal. ¿Algo que oponer?

Perrin:
Todos sabemos cómo, previamente a una definición rigurosa, se hace observar a los principiantes que ellos ya tienen la idea de la continuidad. Se traza ante ellos una hermosa curva bien neta, y se les dice, aplicando una regla contra ese contorno: "Podéis ver que en cada punto hay una tangente". O incluso, para presentar la noción ya más abstracta de la velocidad verdadera de un móvil en un punto de su trayectoria, diremos: "Daos cuenta, ¿verdad?, de que la velocidad media entre dos puntos cercanos de esta trayectoria termina por no variar apreciablemente cuando esos puntos se acercan indefinidamente uno al otro". Y muchas inteligencias en efecto, dándose cuenta de que para ciertos movimientos familiares parece correcto que es así, no ven que hay ahí grandes dificultades.

Los matemáticos, sin embargo, han comprendido bien la falta de rigor de estas consideraciones digamos geométricas, y cuán pueril es querer demostrar, trazando una curva, que toda función continua admite una derivada. Si las funciones con derivadas son las más simples, las más sencillas de dibujar, son sin embargo la excepción; o, si se prefiere un lenguaje geométrico, las curvas que no tienen tangente son la regla, y las curvas muy regulares, como el círculo, son casos muy interesantes, pero muy particulares.

De entrada tales restricciones parecen no ser más que un ejercicio intelectual, sin duda ingenioso, pero en definitiva artificial y estéril, en el que se halla llevado hasta el extremo maniático el deseo de un rigor perfecto. Y, con gran frecuencia, aquellos a quienes se habla de curvas sin tangentes o de funciones sin derivada empiezan a pensar que evidentemente la naturaleza no presenta tales complicaciones, y no sugiere tal idea.

Sin embargo, lo que es verdad es lo contrario, y la lógica de los matemáticos los ha mantenido más cerca de lo real que las representaciones prácticas empleadas por los físicos. Esto es lo que podemos ya comprender al evocar, sin prejuicios simplificadores, ciertos datos completamente experimentales.

Tales datos se presentan en abundancia cuando estudiamos los coloides. Observemos, por ejemplo, uno de esos copos blancos que se obtienen salando agua jabonosa. De lejos, su contorno puede parecer nítido, pero en cuanto nos acercamos un poco, esta nitidez se desvanece. El ojo ya no acierta a establecer ninguna tangente en un punto: una recta que uno estaría inclinado a considerarla como tal, en una primera impresión, parecerá más bien, con un poco más de atención, perpendicular u oblicua al contorno. Si cogemos una lupa, un microscopio, la incertidumbre continúa siendo grande, porque, cada vez que aumentamos el agrandamiento, vemos aparecer nuevas anfractuosidades, sin llegar a tener nunca la impresión nítida y tranquilizadora que ofrece, por ejemplo, una bola de acero pulido. De forma que, si esta bola da una imagen útil de la continuidad clásica, nuestro copo puede de forma igualmente lógica sugerir la noción más general de las funciones continuas sin derivada.

Perrin:
Y lo que hay que observar bien, es que la incertidumbre respecto de la posición del plano tangente en un punto del contorno no es de hecho del mismo orden que la incertidumbre que tendríamos al buscar la tangente en un punto del litoral de Bretaña, si utilizáramos para ello un mapa a tal o cual escala. Según la escala, la tangente cambiaría, pero cada vez hallaríamos una. Ocurre que el mapa es un dibujo convencional, en el que, por su misma construcción, toda línea tiene una tangente. Por el contrario, es un rasgo esencial de nuestro copo (como igualmente del litoral, si en lugar de estudiarlo sobre un mapa lo estudiáramos en sí mismo de más o menos lejos), que, a cualquier escala, sospechamos, sin verlos del todo bien, los detalles que impiden absolutamente establecer una tangente.

Seguiríamos todavía en la realidad experimental, si, poniendo el ojo en el microscopio, observamos el movimiento browniano que agita toda pequeña partícula en suspensión en un fluido. Para establecer una tangente a su trayectoria, tendríamos que encontrar un límite cuando menos aproximativo a la dirección de la recta que une las posiciones de esta partícula en dos instantes sucesivos muy próximos. Pero, en tanto que pueda hacerse esa experiencia, esta dirección varía erráticamente cuando hacemos decrecer la duración que separa esos dos instantes. De forma que lo que sugiere este estudio al observador sin prejuicios, es también la función sin derivada, y en absoluto la curva con tangente.

He hablado de entrada de contorno o de curva, porque normalmente se utilizan las curvas para ofrecer la noción de continuo, para representarla. Pero es lógicamente equivalente, y es físicamente más general, investigar cómo varía de un punto a otro de una materia dada, una propiedad cualquiera, como la densidad, o el color. Aquí veremos aparecer de nuevo el mismo género de complicaciones.

La idea clásica es ciertamente que podemos descomponer un objeto cualquiera en pequeñas partes prácticamente homogéneas. En otras palabras, admitimos que la diferenciación de la materia contenida en un cierto contorno se hace cada vez más débil cuando ese contorno se va estrechando cada vez más.

Pero, lejos de ser impuesta por la experiencia esta concepción, casi me atrevería a decir que raramente se corresponde con aquella. Mi ojo busca en vano una pequeña región "prácticamente homogénea", en mi mano, en la mesa donde escribo, en los árboles o sobre el terreno que percibo desde mi ventana. Y si, sin acudir a algo demasiado difícil, delimito una región un poco más homogénea, sobre el tronco de un árbol por ejemplo, bastará acercarme para distinguir sobre la corteza rugosa detalles que solo sospechaba, y para , de nuevo sospechar otros. Después, cuando mi ojo solo se muestre impotente, la lupa, el microscopio, enseñando cada una de las partes sucesivamente elegidas a una escala cada vez más grande, revelarán nuevos detalles, y aún otros nuevos, y cuando finalmente haya llegado al límite actual de nouestras posibilidades, la imagen que obtendré será mucho más diferenciada que la había percibido al comienzo. Sabemos bien, en efecto, que una célula viva está lejos de ser homogénea, que se capta ahí una organización compleja de filamentos y de gránulos sumergidos en un plasma irregular, donde el ojo adivina cosas que inútilmente se esfuerza en querer precisar. Así el fragmento de materia que podíamos esperar de inicio como un poco más homogéneo, aparece como indefinidamente esponjoso, y no tenemos absolutamente ninguna presunción de que yendo más lejos aún se alcanzaría finalmente "lo homogéneo", o al menos materia cuyas propiedades variarían regularmente de un punto a otro.

Y no es solo la marteria viva la que se encuentra indefinidamente esponjosa, indefinidamente diferenciada. El carbón de madera que se obtiene calcinando la corteza, en cuanto es observada se muestra también idefinidamente cavernosa. La tierra vegetal, la mayoría de las rocas mismas no parecen descomponibles fa´cilmente en pequeñas partes homogéneas. Y casi no encontramos como ejemplos de materias regularmente continuas más que cristales como el diamante, o líquidos como el agua, o los gases. De forma que la noción de lo continuo procede de una elección arbitraria de nuestra atención mediante los datos de la experiencia.

Hay que reconocer por lo demás que se puede a menudo, aunque una observación un poco atenta permita así generalmente descubrir una estructura profundamente irregular en el objeto que estudiamos, representar con gran utilidad de forma aproximada mediante funciones continuas las propiedades de un objeto. Muy sencillamente, aunque la madera sea indefinidamente esponjosa, podemos de forma práctica hablar de la superficie de una viga que queremos pintar o del volumen desplazado por una balsa. En otras palabras, a ciertas ampliaciones, para ciertos procedimientos de investigación, el continuo regular puede representar los fenómenos, al modo de una hoja de estaño que envuelve una esponja, pero que no sigue verdaderamente el contorno delicado y complicado.

NOTA: Cometes un error al escribir "los párrafos posteriores de su prefacio en los que habla de la discontinuidad de la densidad, que es la parte interpretada por Lyotard". En ningún momento se habla, ni por Perrin ni por Lyotard, de que la función de densidad sea discontinua. Se habla de que, a pesar de ser continua, no es derivable.

De todas formas, lo que me interesa señalar ahora, cara a la argumentación que pretendo desarrollar, es que de esa "definición" (o lo que sea) de densidad, podemos concluir la siguiente relación funcional (entiéndase función en estricto sentido matemático, como la relación entre dos variables, sin que eso implique causalidad física o metafísica alguna): m=dv. Donde volumen y masa son dos variables relacionadas funcionalmente entre sí. Como es obvio, se trata de una función lineal. ¿Algo que oponer?

Nolano escribió: La densidad "verdadera" de la que habla Perrin no es una función continua. Dime donde dice que lo sea.

Nolano escribió: No estoy de acuerdo. De la definición de densidad no puedes concluir que d es una constante. Mucho menos puedes decir que m=dv expresa una ley empírica, puesto que toda definición es analítica a priori. La expresión d = m/v es una identidad, d no es más que un nombre para m/v. Empleo el término "definición" en el sentido que se usa en lógica, no en el sentido de los diccionarios. En lógica, una definición es un enunciado que se usa para fijar el significado de un término.

Presentación de resultados en Matemáticas
(...) El primer elemento básico es la definición. La forma habitual de definir algún elemento matemático es describirlo directamente por extensión, o indicando la propiedad o propiedades específicas. Una definición, como sentencia bien formada, es verdadera.