Apuntes a propuesta para un criterio de divisibilidad universal
Los distintos criterios o reglas de divisibilidad de los números enteros "Z" son de sumo interés, especialmente de los números primos, ya que atajan el proceso de factorización permitiéndonos saber, si un número “N” mayor que éste “S”, es divisible por él, sin necesidad de pasar por dividir ambas cantidades y así ver si finalmente se obtiene, o no, residuo en dicha operación que nos indique que N no es divisible por S. Ésto supone mucho menos esfuerzo y tiempo a la hora de asegurar con certeza si dicho entero S es factor primo o no, de ése, o cualquier otro entero N.
Algunos criterios (o reglas) de divisibilidad, parecen más o menos eficientes, resulta más
o menos factible poder llevarlos a término, que otros, pero aún, que yo sepa, no se ha podido observar un único criterio o base metodológica que pueda emplearse con cualquier número primo, sin resultar su puesta en práctica, demasiado compleja o contraproducente a la hora de determinar la divisibilidad de N y S, en el transcurso del proceso de factorización de N.
He hallado un método matemático por el cual puedo determinar fácilmente si un número N es múltiplo de S, sin necesidad de dividir ambos términos. Ésto se consigue gracias a la obtención -mediante dicho método- de una serie numérica relativa a S, en cada caso, pudiendo ser S cualquier número primo.
A continuación mostraré, a modo de ejemplo, una lista de números que hacen, en su conjunto, una serie completa y ordenada, la cual nos permitirá saber si un número cualquiera N, sea éste de las cifras que sea, es múltiplo, o no, del número primo:
241.
1 10 100 36 119 226 91 187 183 143
225 81 87 147 24 240 231 141 205 122
15 150 54 58 98 16 160 154 94 217
Si queremos saber si N es divisible por 241, multiplicaremos uno a uno, comenzando por las unidades, el valor absoluto de cada cifra de N, por cada uno de los números de la serie, en el orden en que vienen determinados en la lista. Luego, los productos de dichas multiplicaciones se suman entre sí, para obtener un número entero “M” menor que N, el cual nos indicará si N es divisible por 241, según sea el caso de si M lo es, o no. Es decir:
N/S=Z si, y solo si, M/S=Z
En caso de que M siga siendo un número muy alto para saberlo con una operación suficientemente simple, repetiremos el proceso multiplicando las cifras de M, desde las unidades, por cada uno de los términos de la serie, nuevamente, hasta llegar a la primera cifra de M.
Por otro lado, si N es un número de más de -en este caso- 30 cifras (siempre en sistema decimal), la serie de la lista, se prolongará cíclicamente .ya que ésta contiene sólo 30 únicos números enteros distintos- continuando con el 1 nuevamente desde el 217, de modo que siempre, el valor absoluto de la última cifra de M multiplique al primer término de la lista, es decir, 1.
Pongámoslo a prueba con un par de números de distintas cifras, elegidos al azar, situándolos en el lugar de N, para ver si funciona en ambos los casos:
a) 9864378945521
b) 5633296
a) 1x1= 1 ;10x2= 20 ;100x5= 500 ;36x5= 180 ;119x4= 476 ;226x9= 2034 ;91x8= 728 ;
187x7= 1309 ;183x3= 549 ;143x4= 572 ;225x6= 1350 ;81x8= 648 ;87x9= 783 .
La suma de todos los productos es 9150. Un número (M), que aún podemos usar repitiendo el proceso nuevamente:
1x0= 0 ;10x5= 50 ;100x1= 100 ;36x9= 324
Sumamos los resultados y tenemos 474.
Si multiplicamos 241x2, el resultado es 482, demasiado alto, por lo que sabemos que:
El número 9864378945521 no es divisible por 241.
Si observamos bien, la diferencia entre el resultado del proceso y el primer múltiplo entero de 241 es 8 (482 – 474= 8 ), de modo que, ¿qué ocurriría si añado esas 8 unidades a N? ¿el número que resultara sería múltiplo de 241? Veamos:
9864378945521 + 8= 9864378945529
1x9= 9 ;10x2= 20 ;100x5= 500 ;36x5= 180 ;119x4= 476 ;226x9= 2034 ;91x8= 728 ;
187x7= 1309 ;183x3= 549 ;143x4= 572 ;225x6= 1350 ;81x8= 648 ;87x9= 783
Esta vez, la suma de todos los productos es 9158;
1x8= 8 ;10x5= 50 ;100x1= 100 ;36x9= 324
De la suma se obtiene 482, que es precísamente 241x2, de modo que deducimos que el número 9864378945529 sí es divisible por 241 y, de hecho así es, siendo que
9864378945529 / 241= 40931032969
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b) 1x6= 6 ;10x9= 90 ;100x2= 200 ;36x3= 108 ;119x3= 357 ;226x6= 1356 ;91x5= 455
Si sumamos los productos obtenemos 2572
1x2= 2 ;10x7= 70 ;100x5= 500 ;36x2= 72
De ahí se obtiene 644 que es menor que 723 (241x3) y mayor que 482 (241x2)
Deducimos, por tanto, que 5633296 no es divisible por 241.
Dado que 723 – 644= 79, añadimos dicha cantidad a N, quedando:
5633296 + 79 = 5633375
Dividimos 5633375 / 241 = 23375
El criterio de divisibilidad de 241 por el momento no falla.
Ahora mostraré otra lista de números, la que supone ser la serie con la que operar al hacer una prueba de divisibilidad del número primo
1093. Puesto que esta lista consiste en 273 números usaremos únicamente los 30 primeros, ya que los números que emplearemos a modo de dividendo en cada ejemplo no excederán en ningún caso las 30 cifras.
1 10 100 1000 163 537 998 143 337 91
910 356 281 624 775 99 990 63 630 835
699 432 1041 573 265 464 268 494 568 215
a) 66879740354082
b) 12338789
a) 1x2= 2 ;10x8= 80 ;100x0= 0 ;1000x4= 4000 ;163x5= 815 ;537x3= 1611 ;998x0= 0 ;
143x4= 572 ;337x7= 2359 ;91x9= 819 ;910x7= 6370 ;356x8= 2848 ;281x6= 1686 ; 624x6= 3744
La suma de los productos es 24906 que, como sigue siendo muy alto, situamos como M.
1x6= 6 ;10x0= 0 ;100x9= 900 ;1000x4= 4000 ;163x2=326
Sumamos y obtenemos 5232. Puesto que es menor a 5465 (1093x5) y mayor que 4372 (1093x4), deducimos que 66879740354082 no es divisible por 1093.
De 5465 – 5232 se obtiene 233 que, sumados a 66879740354082 serían 66879740354315
Dividimos ambos números y éste sí resulta ser divisible por 1093:
66879740354315 / 1093 = 61189149455
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b) 1x9= 9 ;10x8= 80 ;100x7= 700 ;1000x8= 8000 ;163x3= 489 ;537x3= 1611 ;998x2= 1996 ;
143x1= 143
Sumamos y obtenemos 13028
1x8= 8 ;10x2= 20 ;100x0= 0 ;1000x3= 3000 ;163x1= 163
Se obtiene 3191 que es menor que 3279 (1093x3) y mayor que 2186 (1093x2). Si restamos 3279 – 3191 obtenemos 88 que añadidos a 12338789 nos daría 12338877 el cual sí es múltiplo de 1093:
12338877 / 1093 = 11289
Como vemos, el criterio de divisibilidad del 1093 tampoco parece tener fallos.
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