El problema tiene miga, sí. No creo efectivamente que por no pillarlo, en un sentido o en otro, uno haya de ser "anumérico". Pero ya que estamos, yo sigo sin verlo como vosotros. La interpretación que me viene una y otra vez es la de que estáis cometiendo
la falacia del jugador: creo que precisamente se está cometiendo el error de trasladar probabilidades entre instantes de tiempo que son independientes. La falacia es la misma que pensar que tras haber lanzado una moneda 3 veces y haber obtenido cara, la probabilidad de sacar cruz en la próxima es más de 1/2. La ley de los grandes números nos hace intuir que a la larga, si la moneda no está trucada y es equiprobable, los casos de cara y cruz se equilibrarán. Pero al ser en el infinito de los casos, nuestra intuición mesocósmica nos invita a pensar que desde nuestra corta perspectiva de unos pocos casos en un sentido ya se está alterando la probabilidad, lo cual es falso.
Del mismo modo, cuando el presentador abre la puerta C desde luego que añade información relevante para
la nueva situación: es cierto que el concursante sabe seguro que el presentador abrirá una puerta vacía (por ejemplo la C, pero sólo como ejemplo, pues podría ser la B ). Que el presentador abrirá una puerta vacía no añade información a lo que sabe de antemano el concursante. Pero curiosamente sí lo hace que el presentador materialice la apertura de una puerta en concreto. Esa maniobra no es algo necesariamente aleatorio, pues la decisión del presentador viene condicionada por la primera que tomó el concursante. Pero el concursante no puede saber si la elección del presentador de destapar C o B ha sido obligada o aleatoria. Sin embargo, al concretarse la apertura de una puerta
en particular creo que sí se aporta información relevante, pues el escenario cambia: la probabilidad de 2/3 que tenía el agregado de puertas B+C se rompe en el nuevo escenario, y la "subprobabilidad" que tenía C (1/3), se reparte entre A y B equiprobablemente pues el concursante no sabe por qué ha actuado de ese modo el presentador. Basta con pensar en qué pasaría si el concursante fuera reemplazado por un segundo concursante que llega al escenario justo después de que el presentador haya abierto la puerta C (o B ). ¿Dispondría de más información el primer concursante que el segundo? Y si no, ¿qué probabilidades habría de que el coche estuviera en cada puerta?.
Os reconozco que me sorprende, y me ha hecho dudar, que en Wikipedia se advierta explícitamente que la falacia del jugador no es aplicable al caso del problema Monty Hall, poniendo de ejemplo el lanzamiento de dos monedas, que quizá pueda ayudarnos a esclarecer el asunto:
Muchos acertijos engañan al lector haciéndolo creer que son un ejemplo de la falacia del jugador, como el problema de Monty Hall. De forma parecida, si lanzo dos monedas, digo que al menos una dio cara y pregunto cuál es la probabilidad de que ambas fueran cara, podría responderse que 50%. Esto es incorrecto: si digo que uno de los dos lanzamientos fue cara entonces estoy eliminando sólo el resultado cruz-cruz, dejando los resultados cara-cara, cruz-cara y cara-cruz. Estos tres resultados tienen la misma probabilidad, por lo que cara-cara sucede una de cada tres veces (33%). Si hubiese especificado que el primer lanzamiento fue cara, entonces las probabilidades de que el segundo (y por tanto ambos) fuese cara sería el 50%.
Para tratar estos escenarios, yo entiendo que es legítimo emplear el famoso y básico
Teorema de Bayes sobre probabilidad condicionada:
Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B ) viene dada por la expresión:
donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai | B ) son las probabilidades a posteriori.
Esto, efectivamente, es cierto en el caso de las dos monedas pues si
A = "Sacar 2 caras de una tirada"
B = "Sacar al menos 1 cara"
entonces:
P(B|A) = 1
P(A) = 1/4
P(B ) = 3/4
y por tanto:
P(A|B ) = 1/3
Pero si no lo entiendo mal, no veo que estemos en el mismo caso en el problema del Monty Hall pues a diferencia de las monedas que se lanzan a la vez (como podría entenderse que sucede con el coche, que sólo se coloca al principio de todo el proceso tras una puerta), el suceso "ganar el coche" pasa por dos instantes de tiempo diferentes en los que cabe ponderar la probabilidad de forma independiente. Así si los tres posibles casos en la distribución del coche entre las tres puertas, y pensando en que el concursante siempre elige A, los representamos de esta manera:
. A B C
X = 1 0 0 (El coche está en la puerta A y el concursante elige A)
Y = 0 1 0 (El coche está en la puerta B y el concursante elige A)
Z = 0 0 1 (El coche está en la puerta C y el concursante elige A)
y consideramos además los sucesos
Na = "El coche no está en la puerta A"
Nb = "El coche no está en la puerta B"
Nc = "El coche no está en la puerta C"
entonces podemos plantearnos el caso, por ejemplo, de haber elegido bien en primera instancia (caso X) y ver qué probabilidad hay de acertar si nos quedamos en ella cuando el presentador nos muestra que el coche no está en alguna de las otras puertas; pero ojo, no considerando su probabilidad
agregada (Nb v Nc), pues eso sería como decir que el presentador
sin mostrar ninguna otra puerta nos da a elegir cambiar nuestra primera opción, y eso evidentemente mantendría las probabilidades en 1/3 frente a 2/3; se trataría, sin embargo, de considerar los casos concretándolos ya en los que pueden ser por separado, es decir, que no estuviera en B o que no estuviera en C. En ese caso:
P(Nb|X) = 1
P(X) = 1/3
P(Nb ) = 2/3
y por tanto:
P(X|Ny) = 1/2
Los valores serían idénticos si en lugar de Nb fuera Nc.
Por el contrario, si nos ponemos en el caso de haber fallado (por ejemplo caso Y, aunque los números son idénticos a los del caso Z), entonces:
P(Nc|Y) = 1
P(Y) = 1/3
P(Nc) = 2/3
y por tanto:
P(Y|Nc) = 1/2
La clave aquí es que el jugador no puede distinguir con la maniobra del presentador si se encuentra en A, B o C, pero sí obtiene información relevante al saber si Na, Nb o Nc para su siguiente elección: eso aumenta equiprobablemente la probabilidad de las puertas aún posibles.